对能否用2个近似有理数分别代表π和e，使e^(iπ)+1=0还成立，如果有，级数表达是什么关系？ - 黄耀的回答 - 知乎用 $\mathrm \LaTeX$ 润色的版本。
取有理数 $a$ 近似等于 $e$ ，有理数 $b$ 近似等于 $\pi$ ，则问题转化为 $a^{ib}+1=0$ 是否有有理数解 $a$ 和 $b$ 。
假设该式成立，有有理数解 $a$ 和 $b$ ，则 $a^{ib}={e^{\ln a}}^{ib}=e^{ib\ln a}=\cos(b\ln a)+i \sin(b\ln a)=-1$ 则 $$ \begin{align} & \cos(b\ln a) = -1 \\ & b\ln a = (2k+1) \pi \qquad (k \in \mathbb Z) \\ & a = e^{((2k+1) \pi)/b} = (e^\pi)^{(2k+1)/b} \tag{$\ast$} \end{align} $$ 由于 $a$ ， $b$ 为有理数，因此可以表示为 $a=\frac{p}{q}$ ， $b=\frac{m}{n}$ ，代入$(\ast)$ 可得 $\frac{p}{q}=(e^\pi)^{(2k+1)n/m}$ 即一个有理数等于 $e^\pi$ 的有理数次方。
而 $e^\pi=(e^{i\pi})^{-i}=(-1)^{-i}$ ，根据定理可知， $e^\pi$ 为超越数不可能是代数方程的解，因此 $\frac{p}{q}=(e^\pi)^{(2k+1)n/m}$ 不成立。
所以 $a^{ib}+1=0$ 没有有理数解 $a$ 和 $b$ 。