2019-08-21 | 研究与探索 | UNLOCK

a^(ib)+1=0 是否有有理数解

能否用2个近似有理数分别代表π和e,使e^(iπ)+1=0还成立,如果有,级数表达是什么关系? - 黄耀的回答 - 知乎用 $\mathrm \LaTeX$ 润色的版本。

取有理数 $a$ 近似等于 $e$ ,有理数 $b$ 近似等于 $\pi$ ,则问题转化为 $a^{ib}+1=0$ 是否有有理数解 $a$ 和 $b$ 。

假设该式成立,有有理数解 $a$ 和 $b$ ,则 $a^{ib}={e^{\ln a}}^{ib}=e^{ib\ln a}=\cos(b\ln a)+i \sin(b\ln a)=-1$

由于 $a$ , $b$ 为有理数,因此可以表示为 $a=\frac{p}{q}$ , $b=\frac{m}{n}$ ,代入$(\ast)$ 可得 $\frac{p}{q}=(e^\pi)^{(2k+1)n/m}$ 即一个有理数等于 $e^\pi$ 的有理数次方。

而 $e^\pi=(e^{i\pi})^{-i}=(-1)^{-i}$ ,根据定理可知, $e^\pi$ 为超越数不可能是代数方程的解,因此 $\frac{p}{q}=(e^\pi)^{(2k+1)n/m}$ 不成立。

所以 $a^{ib}+1=0$ 没有有理数解 $a$ 和 $b$ 。